Chứng minh
bằng định nghĩa của đạo hàm???
Tôi không biết bạn được học như thế nào nhưng tôi đã học khác.
Đạo hàm tại điểm x0 được định nghĩa là
giới hạn của [f(x) - f(x0)] / (x - x0) khi x -> x0
Tức khi học tới đạo hàm thì ta đã biết khái niệm "
giới hạn". Đã làm nhiều bài tập về giới hạn và chứng minh một số giới hạn cơ bản. Trong đó có giới hạn lim(sin(x) / x) (x -> 0) = 1
***
Khi tôi học thì đúng là giới hạn này đã được tính theo định nghĩa, trước khi học tới đạo hàm.
Tôi còn nhớ là vẽ góc trong đường tròn lượng giác rồi so sánh các diện tích, đoạn thẳng. Cuối cùng là phần chứng minh dựa vào định nghĩa.
Phần chứng minh này tôi để ở tập tin đính kèm.
Tôi nhớ là tôi và người bạn khi học về đạo hàm thì có tính đạo hàm của nhiều hàm trong đó có các hàm lượng giác. Cách chứng minh như sau:
Ta chứng minh [sin(x)]' = cos(x)
f(x+h) - f(x) = sin(x+h) - sin(x) = 2sin(h/2)cos(x+h/2) (
sin trừ sin bằng hai cos sin)
[f(x+h) - f(x)] / h = (2/h)sin(h/2)cos(x+h/2) = [sin(h/2) / (h/2)]*cos(x+h/2)
Khi h -> 0 thì h/2 -> 0, sin(h/2) / (h/2) -> 1
***, và do hàm cos(x) liên tục nên cos(x+h/2) -> cos(x)
Vậy khi h -> 0 thì [f(x+h) - f(x)] / h -> cos(x), tức theo định nghĩa thì [sin(x)]' = cos(x)
Cái không ổn trong cách chứng minh của người bạn tôi là khi tính giới hạn của sin(x) / x khi x -> 0 bạn đó đã dùng [sin(x)]' = cos(x)
Nếu khi chứng minh B ([sin(x)]' = cos(x)) ta dùng A (lim(sin(x) / x) (x -> 0) = 1) thì khi chứng minh A ta không thể dùng B được. Một cái phải được chứng minh theo cách không phụ thuộc vào cái kia.
Nếu bây giờ người bạn chứng minh được [sin(x)' = cos(x) mà không dùng lim(sin(x) / x) (x -> 0) = 1 thì khi chứng minh lim(sin(x) / x) (x -> 0) = 1 bạn đó mới có thể dùng [sin(x)' = cos(x).
View attachment 196455
) nhưng không biết bắt đầu từ đâu? tài liệu như thế nào? học ở đâu?...
