Toán bài 4

[batman1]

Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho 2ⁿ + 105 là số chính phương (bình phương của số tự nhiên)

 

[VetMini]

Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho 2ⁿ + 105 là số chính phương (bình phương của số tự nhiên)

Gợi ý 1: chỗ tô đỏ hàm ý rằng n là một số xác định - có không trên không dưới n số thoả điềun kiện trên.
Gợin ý 2: bài này lập trình vét cạn thì ra. Nhưng mò cái thuật toán mới đã.

 

[huuthang_bd]

Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho 2ⁿ + 105 là số chính phương (bình phương của số tự nhiên)

Ta biết Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2

Với n chẵn
n = 2a
2^n = 2^2a = (2^a)^2
=> 2^n là số chính phương với mọi n chẵn

Với n lẻ
n = 2a + 1
2^n = 2^(2a + 1) = 2*(2^a)^2
Trong đó (2^a)^2 là số chính phương có dạng 3x + 1
=> 2*(2^a)^2 có dạng 6x + 2
=> 2^n + 105 không phải là số chính phương với mọi n lẻ (chia 3 dư 2)

Ta có: 2^n + 105 = b^2
Mà 2^n là số chính phương nên đặt a^2 = 2^n
a^2 + 105 = b^2
=> b^2 - a^2 = 105
=> (b - a)(b + a) = 105
105 = 3 * 5 * 7
=> có 3 trường hợp
(b - a) = 3; (b + a) = (5 * 7) = 35 => a = 16; b = 19 => 2^n = 16^2 => n = 8
(b - a) = 5; (b + a) = (3 * 7) = 21 => a = 8; b = 13 => 2^n = 8^2 => n = 6
(b - a) = 7; (b + a) = (3 * 5) = 15 => a = 4; b = 11 => 2^n = 4^2 => n = 4

 

[batman1]

Ta biết Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2

Bài này tôi giải cũng có 2 phần: phần 2 giống như của bạn nhưng phần 1 khác.

Ta biết rằng số chính phương chỉ tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9.
2¹, 2², 2³, 2^4 tận cùng bằng 2, 4, 8, 6 nên 2^(4k+1), 2^(4k+2), 2^(4k+3) và 2^(4k+4) tận cùng bằng 2, 4, 8 và 6.
2ⁿ + 105 chỉ có thể tận cùng bằng 7, 9, 3, 1. Do 2ⁿ + 105 là số chính phương nên chỉ có thể tận cùng bằng 1 hoặc 9. Tức với n là số chẵn (n = 4k hoặc n = 4k+2). Đặt n = 2k.

2ⁿ + 105 = m² <=> m² - 2^2k = 105 <=> (m-2^k)(m+2^k) = 105 = 1*105 = 3*35 = 5*21 = 7*15
Xét hệ
m - 2^k = 1
m + 2^k = 105
Ta có 2^(k+1) = 104 => vô nghiệm.

Xét hệ
m - 2^k = 3
m + 2^k = 35
=> 2^(k+1) = 32 = 2^5 => k = 4 => n = 2k = 8

Xét hệ
m - 2^k = 5
m + 2^k = 21
=> 2^(k+1) = 16 = 2^4 => k = 3 => n = 2k = 6

Xét hệ
m - 2^k = 7
m + 2^k = 15
=> 2^(k+1) = 8 = 2^3 => k = 2 => n = 2k = 4

Vậy n = 4, 6, 8

 

[xuongrongdat]

Đau não quá chèn đét ơi !

 

[xuongrongdat]

Ta biết Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2

Tại sao vậy anh? Hay đây là tính chất số chính phương? Chắc là đã có 1 bài chứng minh điều này rồi anh nhỉ?

 

[huuthang_bd]

Tại sao vậy anh? Hay đây là tính chất số chính phương? Chắc là đã có 1 bài chứng minh điều này rồi anh nhỉ?

Tất cả các số tự nhiên đều thuộc 1 trong 3 dạng sau:
3a
3a + 1
3a + 2

(3a)^2 = 9a^2 => chia hết cho 3 (dạng 3n)
(3a + 1)^2 = 9a^2 + 6a + 1 => chia 3 dư 1 (dạng 3n + 1)
(3a + 2)^2 = 9a^2 + 12a + 4 => chia 3 dư 1 (dạng 3n + 1)

=> ĐPCM

 

[xuongrongdat]

=> ĐPCM

Cảm ơn anh. Kỉ niệm cấp 3 ùa về. Vừa bồi hồi lại vừa sợ hãi, hiiii.
Cái gì cũng đpcm, đpcm, riết ngán tận bản họng luôn. Mà toàn thầy bà CM không hà, em ít khi nào CM được lắm.

 

[huuthang_bd]

Cảm ơn anh. Kỉ niệm cấp 3 ùa về. Vừa bồi hồi lại vừa sợ hãi, hiiii.
Cái gì cũng đpcm, đpcm, riết ngán tận bản họng luôn. Mà toàn thầy bà CM không hà, em ít khi nào CM được lắm.

Chán thì lâu lâu đổi gió, viết lại cái yêu cầu cho khỏi thấy đpcm. Ví dụ:
Kết luận: Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2