Bài viết là khá rõ
Trong toán học, <= là ký thiệu bất đẳng thức.
Theo định lý (quên mất tên) bất đẳng thức thì <= có tính chất truyền
a <= b và b <= c suy ra a <= c
Tôi chỉ tán thêm thôi.
1. Cho hai tập hợp A, B. Mỗi tập con R của tích Descartes A x B, được gọi là quan hệ hai ngôi từ A vào B (trừu tượng quá phải không?)
Một phần tử (có dạng (a, b) với a thuộc A, b thuộc B) thuộc R thì ký hiệu a R b.
+ Nếu 2 tập A = B thì ta nói R là quan hệ trên A (rõ hơn: R là tập con của tích Decac A x A).
+ Nhiều quan hệ trong cuộc sống đều là quan hệ theo nghĩa toán học nêu trên. Hãy xem ví dụ trong mục 2.
2. Có 4 tính chất hay được xét với quan hệ 2 ngôi: Cho R là quan hệ trên A.
+ R được gọi là có tính PHẢN XẠ nếu với mọi a thuộc A, ta luôn có a R a.
Vd (i): Nếu R là quan hệ "cùng họ với" (trong thế giới con người chúng ta) thì (a "cùng họ với" a) hay a R a là có tính phản xạ.
Vd (ii): Nếu R là quan hệ "vuông góc với" (trong hình học) thì (a "vuông góc với" a) hay a R a là không có tính phản xạ.
Vd (iii): Nếu R là quan hệ "là tập con của" (trong cơ bản về tập hợp) thì (a " là tập con của " a) hay a R a là có tính phản xạ (mọi tập hợp luôn là tập con của chính nó).
+ R được gọi là có tính ĐỐI XỨNG nếu với mọi a, b thuộc A, ta luôn có nếu a R b thì b R a.
Các ví dụ (i), (ii) trên đều có tính đối xứng. Vd (iii) thì không.
+ R được gọi là có tính PHẢN ĐỐI XỨNG nếu với mọi a, b thuộc A, nếu a R b và b R a thì a = b.
Các ví dụ (i), (ii) trên đều có tính phản đối xứng. Vd (iii) thì có. Vd (iii) cũng là định nghĩa 2 tập hợp bằng nhau.
+ R được gọi là có tính BẮC CẦU nếu với mọi a, b, c thuộc A, nếu a R b và b R c thì a R c.
Các vd (i), (iii) trên đều có tính bắc cầu. Vd (ii) thì không.
3. Có 2 loại quan hệ, được định nghĩa như sau
+ Quan hệ R trên tập A là tương đương nếu nó có 3 tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu.
+ Quan hệ R trên tập A được gọi là quan hệ thứ tự trên A nếu nó có ba tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu.
Như vậy quan hệ "là tập con của" là quan hệ thứ tự. Có sự khác biệt "nhỏ" với quan hệ a <= b (a, b thuộc tập số thực) là: Tập số thực là tập "được sắp", tức là 2 số bất kỳ a, b luôn thỏa mãn hoặc a <= b, hoặc b <= a.
4. Cách viết 0 < a < 5 là viết tắt của 2 bất đẳng thức xảy ra đồng thời: (0 < a) và (a < 5).
Đôi khi cũng viết 0 < a, b, c < 5 được hiểu theo nghĩa 0 < a < 5, 0 < b < 5, 0 < c < 5 được xảy ra đồng thời
5. Đặc biệt, tập con của tích Descartes A x B x C x ... cũng được gọi là quan hệ n ngôi. Các tính chất trong quan hệ 2 ngôi không được xét đến trong quan hệ n ngôi. Nhưng quan hệ này là cơ sở toán học cho nghiên cứu cơ sở dữ liệu, ví dụ như liên kết bảng...
Thôi muộn rồi. May cũng vừa tán xong.
