Những câu chuyện mới nhất từ tủ sách của bác miền núi

[ptm0412]

Thật ra nếu chỉ có 3 lối thoát khỏi căn nhà thì mới bất đắc dĩ phải chọn 1, và chọn lối đi qua con sư tử chết sình. Nếu để "ngủ yên lành qua đêm" thì chọn đi ra, tìm nhà trọ khác.

 

[batman1]

Đã 3 ngày và không thấy ai quan tâm nên tôi đưa ra đáp án của "tòa soạn".

Tìm 2 chữ số tận cùng của số 7^(7^(7^(7^(7^(7^7))))) trong khai triển thập phân.

Phân tích bài toán để mọi người hiểu là lời giải không phải tự có sau một câu thần chú. Bao giờ cũng có bước phân tích, tìm hướng i ...

7^1 ≡ 07 (mod 100)
7^2 ≡ 49 (mod 100)
7^3 ≡ 43 (mod 100)
7^4 ≡ 01 (mod 100)

Do 7^4 ≡ 1 (mod 100) nên 7^(4k+r) ≡ (7^4)^k * 7^r ≡ 7^r (mod 100)

7^(4k+1) ≡ 7^1 ≡ 07 (mod 100)
7^(4k+2) ≡ 7^2 ≡ 49 (mod 100)
7^(4k+3) ≡ 7^3 ≡ 43 (mod 100)
7^(4k) ≡ 7^0 ≡ 01 (mod 100)

Vậy chỉ cần xác định số 7^(7^(7^(7^(7^7)))) - 6 chữ số 7, có dạng nào trong 4 dạng trên. Ta sẽ xác định là số 7^(7^(7^(7^(7^7)))) có dạng 7^(4k+3)

Từ phân tích trên ta giải như sau:
----------------------
Xét dãy an được định nghĩa như sau: a1 = 7 và a(n+1) = 7^an với n = 1, 2, ...
Dễ thấy (7^s-3) chia hết cho 4 khi (và chỉ khi) s là số tự nhiên lẻ.
Thật thế 7^2 ≡ 49 ≡ 1 (mod 4) => 7^(2k+1) = (7^2)^k * 7 ≡ 7 ≡ 3 (mod 4) => 7^(2k+1) - 3 chia hết cho 4
Do a5 là số lẻ nên (7^a5-3) chia hết cho 4, tức (a6-3) chia hết cho 4 => a6 = 4k + 3, với k là số tự nhiên nào đó.
7^3 ≡ 43 (mod 100)
7^4 ≡ 01 (mod 100)
7^(7^(7^(7^(7^(7^7))))) = 7^a6 = 7^(4k + 3) = (7^4)^k * 7^3 ≡ 7^3 ≡ 43 (mod 100)
Vậy 7^(7^(7^(7^(7^(7^7))))) có 2 chữ số tận cùng là 43.

Ta thấy là a6 có dạng 4k+3 nên a7 = 7^a6 (7 chữ số 7) tận cùng bằng 43. Tức a7 cũng có dạng 4k+3 nên a8 = 7^a7 (8 chữ số 7) cũng tận cùng bằng 43, ... Như vậy a7, a8, ... đều tận cùng bằng 43. Nhưng thực ra a1 = 7 = 4*1+3 cũng đã có dạng 4k+3 nên a2 = 7^a1 = 7^7 đã tận cùng bằng 43 rồi. Mà 43 lại là dạng 4k+3 nên a3, rồi a4, ... cũng tận cùng bằng 43.

Xét dãy an được định nghĩa như sau: a1 = 7 và a(n+1) = 7^an với n = 1, 2, ...

Ta chứng minh rằng a2, a3, a4, ... tức 7^7, 7^(7^7), 7^(7^(7^7)), ... tận cùng bằng 43. Ta chứng minh bằng qui nạp.
7^3 ≡ 43 (mod 100)
7^4 ≡ 01 (mod 100)
=> 7^(4k+3) = (7^4)^k * 7^3 ≡ 43 (mod 100), với k = 1, 2, ... (*)
a1 = 7 = 4*1 + 3, vậy a2 = 7^a1 tận cùng bằng 43 do (*)

Giả sử an tận cùng bằng 43, tức an = m*100 + 43 = 4k + 3, với k là số tự nhiên nào đó.
a(n+1) = 7^an = 7^(4k+3) = (7^4)^k * 7^3 ≡ 43 (mod 100).Vậy a(n+1) cũng tận cùng bằng 43 (đ.p.c.m)

 

[ptm0412]

Đã 3 ngày và không thấy ai quan tâm nên tôi đưa ra đáp án của "tòa soạn".

Tìm 2 chữ số tận cùng của số 7^(7^(7^(7^(7^(7^7))))) trong khai triển thập phân.

Từ bài phân tích số 15 của anh tôi suy luận ra 43 mà không chắc về logic suy luận nên chưa dám nói.

Rất thường xuyên dãy các số dư là một dãy TUẦN HOÀN có CHU KỲ. ... Vậy 7 nâng lên lũy thừa bất kỳ chỉ có thể tận cùng bằng 07, 49, 43, 01

Với chu kỳ 4 thì 7 dư 3, vị trí 3 là 43 (có thể sai logic nên không dám hó hé)

 

[xuongrongdat]

Đã 3 ngày và không thấy ai quan tâm nên tôi đưa ra đáp án của "tòa soạn".

Tìm 2 chữ số tận cùng của số 7^(7^(7^(7^(7^(7^7))))) trong khai triển thập phân.

Phân tích bài toán để mọi người hiểu là lời giải không phải tự có sau một câu thần chú. Bao giờ cũng có bước phân tích, tìm hướng i ...

7^1 ≡ 07 (mod 100)
7^2 ≡ 49 (mod 100)
7^3 ≡ 43 (mod 100)
7^4 ≡ 01 (mod 100)

Do 7^4 ≡ 1 (mod 100) nên 7^(4k+r) ≡ (7^4)^k * 7^r ≡ 7^r (mod 100)

7^(4k+1) ≡ 7^1 ≡ 07 (mod 100)
7^(4k+2) ≡ 7^2 ≡ 49 (mod 100)
7^(4k+3) ≡ 7^3 ≡ 43 (mod 100)
7^(4k) ≡ 7^0 ≡ 01 (mod 100)

Vậy chỉ cần xác định số 7^(7^(7^(7^(7^7)))) - 6 chữ số 7, có dạng nào trong 4 dạng trên. Ta sẽ xác định là số 7^(7^(7^(7^(7^7)))) có dạng 7^(4k+3)

Từ phân tích trên ta giải như sau:
----------------------
Xét dãy an được định nghĩa như sau: a1 = 7 và a(n+1) = 7^an với n = 1, 2, ...
Dễ thấy (7^s-3) chia hết cho 4 khi (và chỉ khi) s là số tự nhiên lẻ.
Thật thế 7^2 ≡ 49 ≡ 1 (mod 4) => 7^(2k+1) = (7^2)^k * 7 ≡ 7 ≡ 3 (mod 4) => 7^(2k+1) - 3 chia hết cho 4
Do a5 là số lẻ nên (7^a5-3) chia hết cho 4, tức (a6-3) chia hết cho 4 => a6 = 4k + 3, với k là số tự nhiên nào đó.
7^3 ≡ 43 (mod 100)
7^4 ≡ 01 (mod 100)
7^(7^(7^(7^(7^(7^7))))) = 7^a6 = 7^(4k + 3) = (7^4)^k * 7^3 ≡ 7^3 ≡ 43 (mod 100)
Vậy 7^(7^(7^(7^(7^(7^7))))) có 2 chữ số tận cùng là 43.

Ta thấy là a6 có dạng 4k+3 nên a7 = 7^a6 (7 chữ số 7) tận cùng bằng 43. Tức a7 cũng có dạng 4k+3 nên a8 = 7^a7 (8 chữ số 7) cũng tận cùng bằng 43, ... Như vậy a7, a8, ... đều tận cùng bằng 43. Nhưng thực ra a1 = 7 = 4*1+3 cũng đã có dạng 4k+3 nên a2 = 7^a1 = 7^7 đã tận cùng bằng 43 rồi. Mà 43 lại là dạng 4k+3 nên a3, rồi a4, ... cũng tận cùng bằng 43.

Xét dãy an được định nghĩa như sau: a1 = 7 và a(n+1) = 7^an với n = 1, 2, ...

Ta chứng minh rằng a2, a3, a4, ... tức 7^7, 7^(7^7), 7^(7^(7^7)), ... tận cùng bằng 43. Ta chứng minh bằng qui nạp.
7^3 ≡ 43 (mod 100)
7^4 ≡ 01 (mod 100)
=> 7^(4k+3) = (7^4)^k * 7^3 ≡ 43 (mod 100), với k = 1, 2, ... (*)
a1 = 7 = 4*1 + 3, vậy a2 = 7^a1 tận cùng bằng 43 do (*)

Giả sử an tận cùng bằng 43, tức an = m*100 + 43 = 4k + 3, với k là số tự nhiên nào đó.
a(n+1) = 7^an = 7^(4k+3) = (7^4)^k * 7^3 ≡ 43 (mod 100).Vậy a(n+1) cũng tận cùng bằng 43 (đ.p.c.m)

Bài này chắc thi giỏi Toán Quốc Tế quá bác. híc. Có bài giải mà đọc còn mấy chõ bị cấn luôn. Tự nghĩ chắc tới tết Công-gô cũng không ra nổi.